El problema de la leche y el café

Explicación usando monedas

Supongamos que tenemos un primer grupo formado por 10 monedas de plata (10 P) y otro por 10 monedas de cobre (10 C) y que transferimos 4 monedas de plata (4 P) a este segundo grupo. A continuación, del nuevo grupo de 14 monedas (10 C + 4 P), seleccionamos 4 de ellas de forma completamente aleatoria y las trasladamos al primer grupo. Como resultado de este intercambio, ¿es la cantidad de monedas de plata en el segundo grupo mayor, menor o igual que la cantidad de monedas de cobre en el primero?

Una forma de abordar el problema es plantear todas las posibilidades. Está claro que después de la primera transferencia de 4 monedas de plata, en el primer grupo quedarán 6 monedas de plata y en el segundo 10 de cobre y 4 de plata.

Grupo 1Grupo 2Transferencia 1 → 2Grupo 1Grupo 2
10 P10 C4 P6 P10 C + 4 P

Al seleccionar 4 monedas de forma aleatoria de este segundo grupo, se podrían dar 5 casos diferentes cuando calculamos las combinaciones con repetición de 2 elementos tomados de 4 en 4:

  • 4 monedas de cobre
  • 3 de cobre y 1 de plata
  • 2 de cobre y 2 de plata
  • 1 de cobre y 3 de plata
  • 4 monedas de plata
Transferencia 2 → 1Grupo 1Grupo 2
Caso 14 C6 P + 4 C6 C + 4 P
Caso 23 C + 1 P7 P + 3 C7 C + 3 P
Caso 32 C + 2 P8 P + 2 C8 C + 2 P
Caso 41 C + 3 P9 P + 2 C9 C + 1 P
Caso 54P10 P + 0 C10 C + 0 P

Experimentalmente hemos demostrado para todos los casos que una vez realizada la segunda transferencia, la cantidad de monedas de plata en el segundo grupo es exactamente la misma que la cantidad de monedas de cobre en el primero.

Las siguientes imágenes ilustran todo el proceso cuando se da el Caso 2:

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