Las matemáticas en el arte de Escher

Subiendo y bajando (1960)

Se trata de una de mis obras favoritas. ¿Cómo es posible una escalera que baja o que sube continuamente en función del sentido en el que la recorramos? En la imagen podemos observar dos procesiones de monjes que caminan en paralelo, los del lado interior bajando continuamente y los de lado exterior subiendo.

Si nos fijamos detenidamente en la imagen nos damos cuenta de varios detalles:

  • La altura de la fachada visible va cambiando progresivamente.
  • Para pasar a una altura mayor o menor, según el sentido en el que nos movamos, es necesario recorrer tres escalones.
  • Si observamos a vista de pájaro desde la vertical de la posición en la que se encuentra el personaje que aparece mirando hacia arriba en la parte izquierda de la obra, podemos comprobar que el tramo de escalera más alejado respecto a la posición del observador y el que se encuentra a su derecha tienen seis alturas diferentes cada uno, el más cercano cuatro y el situado a su izquierda tres. Gráficamente, las alturas se distribuirían de la siguiente forma:

A partir de las observaciones anteriores, podemos inferir que la planta no está cerrada completamente y que por lo tanto hay un momento en el que los escalones se acaban. Esto quiere decir, que si la construcción fuera real, una vez que se llega a la parte más alta de la escalera, los monjes que caminan caerían al vacío, y ocurriría exactamente igual con los que llegan a la parte más baja. Por lo tanto, Escher vuelve a jugar con la perspectiva para engañar completamente a nuestros sentidos, ya que solo desde un cierto ángulo es posible tener la sensación de que las escaleras suben o bajan continuamente.

Para entenderlo mejor, he utilizado el software Sketchup de dibujo en 3D para crear la distribución de alturas descrita y dibujada más arriba, de manera que podamos apreciar con claridad lo que sucede y cuál es el ángulo correcto para que la ilusión funcione:

 

Este objeto se conoce como escalera de Penrose o también escalera infinita o escalera imposible y fue diseñada por Lionel Penrose y su hijo Roger Penrose. Encontrarás más información en el enlace anterior a un artículo de la Wikipedia en inglés.

Volviendo al vídeo, las dos personas que aparecen representadas en cada uno de los extremos de la escalera tienen exactamente el mismo tamaño, pero al estar en zonas que se encuentran realmente muy separadas, aunque aparenten estar juntas gracias a la perspectiva, nos damos cuenta de que también su tamaño se ve necesariamente distinto desde la posición en la que se encuentra el observador.

En la litografía, Escher hace que el aspecto de los monjes situados en esas zonas de la escalera sea idéntico para reforzar la ilusión de que se encuentran muy cerca el uno del otro. En realidad, la persona de la parte más baja de la escalera tendría que ser mucho más alta y corpulenta que la situada en la parte superior para que desde la posición del observador aparentasen el mismo tamaño. Otra muestra más del ingenio y la técnica de Escher para lograr que lo irreal nos parezca increíblemente real.

Si estás interesado en diseñar tu propia escalera de Penrose probando otras configuraciones, dejo aquí un enlace al archivo que preparé para poder crear el vídeo anterior. Lo podrás editar con el programa de modelado 3D Sketchup. En el diseño que propongo, la superficie de la parte superior de todas las columnas es un cuadrado, excepto en tres casos: las dos últimas columnas de la zona más alta de la escalera son más estrechas y la primera columna en la parte más baja de la escalera es más ancha. Estos pequeños ajustes y el uso de la perspectiva adecuada son imprescindibles para lograr que el principio y el final de la escalera se unan correctamente para crear esta ilusión. Por otro lado, el número de alturas utilizadas en cada uno de los cuatro lados de la planta de la escalera es exactamente el mismo que el que se muestra en la litografía de Escher.

Nuevamente Ermanno Nardelli tiene una magnífica animación por ordenador basada en la obra original de Escher:

Si te ha gustado la animación anterior te dejó aquí un enlace al vídeo completo de algo más de 8 minutos de duración, donde además de las obras anteriores, son trasladadas también al mundo digital otras muy conocidas de Escher. Dicho vídeo es la parte final de la tesis de graduación en Diseño Gráfico y Diseño Multimedia de Ermanno Nardelli y estoy seguro de que será del agrado de todos los admiradores del artista holandés.

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